Dr. Kerstin Hesse
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FORSCHUNG in der APPROXIMATIONSTHEORIE

Ich forsche in der Approximationstheorie mit einem besonderen Fokus auf mehrdimensionaler numerischer Integration und mehrdimensionaler gitterloser Approximation mit radialen Basisfunktionen.

Aktuell konzentriert sich meine Forschung auf die gitterlose Approximation mit radialen Basisfunktionen auf der Sphäre. Interpolation und Approximation mit radialen Basisfunktionen (oder allgemeineren Kernfunktionen) auf Mannigfaltigkeiten ist ein hochaktuelles Forschungsthema. Neben rein approximationstheoretischen Problemen haben radiale Basisfunktionen (oder allgemeinere Kernfunktionen) auch bei der Lösung von inversen Problemen und partiellen Differentialgleichungen (in letzterem Kontext auch als Alternative zu finiten Elementen) und im maschinellen Lernen wichtige Anwendungen gefunden.

  • Glättende Approximation von Funktionen (auf der Sphäre) mit radialen Basisfunktionen, basierend auf verrauschten Daten: In "glättender Approximation" (auch "penalised least-squares") werden Messdaten approximiert (und nicht interpoliert), und die Balance zwischen einem guten Fit der Messdaten und der Glattheit der Approximation wird durch den sogenannten Glättungsparameter kontrolliert. Verrauschte Messdaten können nicht erfolgreich interpoliert werden, und glättende Approximation ist die passende Approximationstechnik. Mein besonderes Interesse gilt Fehlerabschätzungen und Strategien zur Wahl des Glättungsparameters für glättende Approximation mit radialen Basisfunktionen oder mit dem "hybriden Approximationsschema" (ein Polynom plus einer radialen Basisfunktionen-Approximantion).

Meine frühere Forschung umfasst die folgenden Themen:

  • Lokale numerische Integrationsformeln für die Sphäre und ihre theoretischen Eigenschaften: Lokale numerische Integrationsformeln für die Sphäre sind für geophysikalische Anwendungen interessant, bei denen die Daten nur auf einem Teilgebiet der Erdoberfläche (in erster Approximation eine Sphäre) gegeben sind. Mein besonderes Interesse galt Fehlerabschätzungen in speziellen Klassen von Funktionenräumen (z.B. Sobolevräumen).

  • Lokale Interpolation mit radialen Basisfunktionen auf der Sphäre: Es wurden lokale Fehlerabschätzungen für die Approximationsgüte in Sobolevräumen hergeleitet.

  • Energie von Punktsystemen auf der Sphäre: Bei diesem eher theoretischen Forschungsthema wurden die Coulombenergie und ihre Verallgemeinerungen für sphärische Punktsysteme mit "`guten"' Eigenschaften abgeschätzt.

  • Hyperinterpolation auf der Sphäre: Bei Hyperinterpolation handelt es sich um eine diskretisierte Orthogonalprojektion auf den Raum der Polynome bis zum Grad n.

  • Numerische Integration auf der Sphäre: Insbesondere bewies ich Fehlerabschätzungen in Sobolevräumen für Klassen von numerischen Integrationsformeln mit "guten" Eigenschaften. Durch obere und untere Schranken derselben Konvergenzordnung ist gewährleistet, dass die Fehlerabschätzungen optimal sind.

  • Modellierung des Gravitationspotentials der Erde aus Satellitendaten: Dies war das Thema meiner Doktorarbeit. Die Modellierung des Gravitationspotentials mit hoher Genauigkeit ist immer noch eine der großen Herausforderungen der Geodäsie. Dieses Modellierungsproblem kann als eine Pseudodifferential-(Operator)-Gleichung formuliert werden und ist ein exponentiell schlecht gestelltes / inverses Problem, da das Gravitationspotential mit zunehmender Entfernung von der Erdoberfläche abgeschwächt wird. Bei dieser Forschung setzte ich Regularisierungsverfahren, Approximationsverfahren basierend auf sphärischen Geometrien, ebenso wie numerische Verfahren, insbesondere Gebietszerlegungsverfahren, ein.

  • Fehlerabschätzungen für das Wachstumsverhalten von Lösungen der $\overline{\partial}$-Gleichung auf Pseudo-Siegelgebieten: Diese Forschung in der Analysis mehrerer komplexer Veränderlicher war das Thema meiner Diplomarbeit.